Existence n-té odmocniny
Nechť n je přirozené číslo, a je reálné číslo > 0. Pak existuje právě jedno reálné číslo b > 0 tak, že
bn = a.
Klikněte na podtržené kroky, pokud jim nevěříte, a rozbalí se podrobnější důkaz.
-
Existuje alespoň jedno reálné číslo b větší než 0, jehož n-tá mocnina je a.
-
Sestrojíme množinu M := { x ≥ 0; xn < a }.
-
Označme b := sup M. To můžeme, protože každá shora omezená množina reálných čísel má supremum v reálných číslech.
-
Axiom suprema: Každá shora omezená množina reálných čísel má reálné supremum.
-
Číslo a je horní závora množiny M, tudíž M je shora omezená.
-
Pro každé a reálné a n přirozené platí, že an >= a
-
Tedy mocniny všech čísel vyšších rovno a jsou také vyšší rovno a, tudíž nejsou v množině M, tudíž a je horní závora.
-
Tedy M má reálné supremum.
-
b je kladné číslo, protože je supremem M, 0 je součástí M a supremum je větší rovno jakémukoli prvku množiny, tudíž b > 0.
-
Sporem: Kdyby existoval prvek M takový, že je větší než supremum, pak toto supremum není horní závora M, což je spor.
-
NEKOMPLETNÍ DŮKAZ: Tímto jsme dokázali jen neostrou nerovnost.
-
b je reálné číslo, tudíž bn je reálné číslo.
-
Z trichotomie platí buď bn < a, bn > a nebo bn = a.
-
Z definice reálných čísel: Reálná čísla jsou úplně uspořádaná množina.
-
Tudíž pro ně platí trichotomie.
-
Ovšem bn < a není pravda (sporem, složitý důkaz).
-
Pokud bn < a, tak z druhé vlastnosti suprema platí, že existuje ε > 0 takové, že bn + ε < a.
-
bn + ε < a, tudíž existuje nějaké malé r > 0 tak, že
(b+r)n < a.
-
Protože r > 0, b > 0, pak b+r > 0.
-
Protože b+r > 0, (b+r)n < a, pak b+r ∈ M.
-
Protože supremum je větší rovno jakémukoli prvku množiny, a b+r ∈ M, pak b ≥ b+r, tedy 0≥r, což je spor s kladností r.
-
Ovšem bn > a není pravda (obdobně).
-
Z trichotomie, protože bn < a, bn > a nejsou pravdivá tvrzení, pak nutně bn = a. Našli jsme tedy kladné b takové, že bn = a.
-
Z definice reálných čísel: Reálná čísla jsou úplně uspořádaná množina.
-
Tudíž pro ně platí trichotomie.
-
Nemohou existovat dvě různá reálná čísla větší než 0, jejichž n-tá mocnina je a.
-
Důkaz sporem. Nechť pro spor existují dvě různá čísla b, c tak, že b > 0, c > 0, bn=a, cn=a.
-
Tudíž bn = cn.
-
bn = cn implikuje |b|=|c|.
-
Protože b > 0, pak |b| = b. Protože c > 0, pak |c| = c.
-
Tedy b=c, což je spor s růzností b a c.
-
Tedy existuje právě jedno reálné číslo větší než 0, jehož n-tá mocnina je a, což jsme chtěli dokázat.